1 二階控制系統模型

能夠用二階微分方程描述的系統稱為二階控制系統。在控制工程實踐中，二階控制系統十分常見，例如，電樞控制的直流電動機，RLC網絡和彈簧-質量-阻尼器組成的機械位移系統等。此外，許多高階系統在一定條件下，常常近似地作為二階控制系統來研究。因此，詳細討論和分析二階控制系統的特性，具有極為重要的實際意義。典型二階控制系統數學模型結構如圖1所示。

其閉環傳遞函數為：

式中：ζ為系統阻尼比;ωn為無阻尼自然振蕩角頻率，單位為rad/s.二階控制系統的動態特性可由以上兩個參數描述。二階控制系統在單位階躍信號作用下，其輸出響應可分為以下幾種情況：

(1)當ζ=0時，二階控制系統為零阻尼狀態。系統有一對共軛虛根，系統單位階躍響應為無阻尼等幅振蕩曲線。

(2)當0<ζ<1 時，二階控制系統為欠阻尼狀態。系統的極點為共軛復數，位于S 左半平面。系統單位階躍響應由穩態響應和瞬態響應兩部分組成，穩態響應為1,瞬態響應為振蕩衰減過程，振蕩角頻率由阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩角頻率ωn決定，并且隨著ζ的減小，其振蕩幅度加大。

(3)當ζ=1時，二階控制系統為臨界阻尼狀態。系統具有兩個相同的實數極點，位于S 左半平面。系統單位階躍響應為無超調，無振蕩單調上升的曲線，不存在穩態誤差。

(4)當ζ>1時，二階控制系統為過阻尼狀態。系統具有兩個不等的實數極點，位于S左半平面，系統單位階躍響應與臨界阻尼情況相似，為無超調，無振蕩單調上升的曲線，但它的過渡過程時間較之臨界阻尼更長。

2 二階控制系統仿真設計與研究

2.1 二階控制系統仿真結構設計

啟動Matlab 7.04,進入Simulink仿真界面，根據二階控制系統數學模型結構，設計二階控制系統的Simu-link仿真結構如圖2所示。雙擊各函數模塊，在出現的各參數對話框內設置相應的參數，仿真時輸入單位階躍信號，起始時間為0,分別改變ωn 和ζ的值，點擊simula-tion菜單下的start命令進行仿真，雙擊示波器模塊觀察仿真結果，得到系統的階躍響應曲線，再進行分析ωn和ζ對系統動態性能的影響。

2.2 二階控制系統單位階躍響應與參數ζ的關系

設定ωn=10 rad/s 不變，改變參數ζ分別為0,0.25,1和2的二階控制系統Simulink仿真結構如圖3所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應曲線如圖4所示。從圖中實驗數據分析可以看出，響應曲線由上至下，依次為無阻尼等幅振蕩曲線，欠阻尼振蕩衰減曲線，臨界阻尼和過阻尼無超調單調上升曲線。當0<ζ<1 時，二階控制系統欠阻尼狀態ζ變化的階躍響應曲線如圖5所示。隨著ζ 的增大，系統單位階躍響應的超調量減少，但上升時間加長，曲線峰值較大，因此，綜合考慮超調量和上升時間兩個因素，應選擇ζ 接近最佳阻尼比0.707。

2.3 二階控制系統單位階躍響應與參數ωn的關系

設定ζ=0.1 不變，改變參數ωn 分別為10 rad/s 和20 rad/s的二階控制系統Simulink仿真結構如圖6所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應曲線如圖7所示。從圖中實驗數據分析可以看出，當ζ=0.1 時，隨著ωn 的增大，系統單位響應的振蕩周期變短，其調整時間也相應地縮短;當ζ≥1 時，系統變成臨界阻尼或欠阻尼系統，這時也有類似的結論，圖8所示為當ζ=1時，ωn分別為10 rad/s和20 rad/s的二階控制系統的階躍響應曲線。

3 結語

基于Matlab/Simulink 環境的仿真分析方法，通過Simulink工具箱所提供的基本模塊，不需任何硬件，在單位階躍信號作用，利用仿真實例很好地實現了對二階控制系統進行仿真研究，直接觀察和分析二階控制系統輸出性能的變化，驗證了二階控制系統相關理論的正確性，在二階控制系統實驗教學和科研上有很大實用價值，充分體現了Matlab/Simulink仿真直觀和方便的特點。