0 引言

IIR數字濾波器在很多領域中都有著廣闊的應用。與FIR數字濾波器相比，IIR數字濾波器可以用較低的階數獲得較高的選擇性，而且所用存儲單元少，經濟效率高。一個N階IIR數字濾波器的系統函數為：

其線性常系數差分方程為：

用FPGA實現濾波的基本思想就是基于式(2)來實現的。如果知道了系統的輸入序列(濾波器的輸入)，那么，只要根據所給的濾波器的指標，然后通過MATLAB仿真出系數矢量b和a，再采用遞推算法求解差分方程，就能求出輸出序列(濾波器的輸出)。

1 濾波器的MATLAB設計

由于本文采用巴特沃斯濾波器，故需要在工具箱中調用的兩個函數buttord和butter的調用格式為：

其中N為濾波器階數;wp和ws分別為通帶截止頻率矢量和阻帶截止頻率矢量，單位為π，一般需要模擬頻率指標對采樣頻率的一半作歸一化;Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減，單位dB;wc為3 dB邊緣頻率矢量;b和a即為方程(2)中的系數矢量。

獲得系數6和a之后，調用函數freqz(b，a，k，Fs)即可按照下式計算k點的復頻率響應矢量H：

然后便可繪出K點的幅頻和相頻特性曲線，以用于檢查計算出的系數是否滿足所需要的濾波器指標。

2 編寫VHDL語言代碼注意事項

乘加運算過程中的數據是有符號的二進制補碼，通常在Xilinx ISE集成開發環境下建立的VHDL源文件頭部都會有“use IEEE.STD_LOG-IC_UNSIGNED_ALL;”，如將其改為“use IEEE.STD_LOGIC_SIGNED.ALL;”即應該包含有符號數運算程序包，這樣就能保證代碼中的所有std_log-ic_vector型數據按照有符號二進制補碼的規則進行運算。

由于FPGA內部不能表示浮點數，因此只能用有限精度方法來實現數據的運算，即用數據(包括方程(2)的輸入輸出和系數)的整數部分(截去小數部分)作近似運算，且需要std_log-ic_vector數據類型來表示數據整數部分的二進制補碼形式，但這樣會產生截斷誤差。為了減小截斷誤差，應該將數據擴大適當的倍數(通常是2L倍，L為正整數)，以使小數部分可以忽略不計。擴大的倍數越大，截斷誤差就越小，得到的數據就越精確，但是，用來表示數據整數部分的std_logic_vector型數據長度會越大，這樣就會占用越多的FPGA內部資源，因此，適當的選擇數據擴大倍數是個關鍵。此外，各種數據轉換為std_logic_vector型數據的長度選取至少應足以表示二進制補碼(包括符號位)。若FPGA內部資源充足，可以通過增加std_logic_vector型數據長度來減小截斷誤差，提高運算精度。

通常由MATLAB仿真得到的系數b都遠小于1，因此要適當選擇正整數L。運算時可給系數b和a(a的第一個系數除外)同乘以2L，之后取整得到B=round(b*2L)和A=round(a*2L)

當前時刻輸入的x(n)有時可能太小，為減小截斷誤差，應該選擇適當的整數M，以給x(n)乘以2M，即給表示當前時刻輸入的std_logic_vec-tor變量后補上M個‘0’。這樣，得到的當前時刻輸出y (n)就是擴大了2L+M倍的數據，應該除以2L+M才是當前時刻的真實輸出。而VHDL語言不支持除法運算，故應采用截去末尾(L+M)位的方法來近似除法運算，這種做法相當于原始輸出y除以2L+M之后截去小數部分。

在用示波器觀測時，濾波器的輸出波形可能帶有許多大幅度尖銳毛刺，從而嚴重影響了濾波器的性能。毛刺是由于組合電路的競爭而使電路輸出發生瞬時錯誤的現象，通常消除毛刺的方法是在具體的電路中加個鎖存器。本文采取另一優化方法，即在源代碼中通過符號“=”把輸出信號賦給一個中間信號，再把中間信號作為輸出，這相當于將信號作一個延時再輸出。這種方法不需要知道具體的電路結構，也元需編寫其它代碼模塊，因此優化更為簡便快捷，而且優化效果非常好。

3 濾波器MATLAB設計的FPGA實現

下面以一個簡單的低通濾波器設計實例來說明從MATLAB設計到FPGA實現的整個過程。該低通濾波器的系統采樣頻率為40 MHz，通帶截止頻率為1 MHz，阻帶截止頻率為5 MHz，通帶內最大衰減為3 dB，阻帶內最小衰減為40 dB，而對相位不作要求。