摘要：本文首先提出一種空心圓形線圈在偏移工況下的互感計算方法，然后分析SRSC磁耦合機構的結構特性和互感特性，并提出一種基于恒定互感的磁耦合機構優化設計方法。仿真和實驗結果驗證了理論計算分析的正確性，SRSC結構能夠有效解決無線電能傳輸系統線圈水平方向偏移的互感劇烈波動問題，使系統在發射線圈外徑50%偏移范圍內仍能保持高效運行，提升了系統的穩定性。

*基金項目：湖南省自然科學省市聯合基金資助項目（資助號2019JJ60055）

磁耦合諧振式無線電能傳輸（magnetically coupled resonant wireless power transfer，MCR-WPT） 技術因為其在電磁場近場區具有較高傳輸效率和較大傳輸功率的特點受到廣泛關注，未來在交通運輸、工業機器人、消費電子、植入式醫療設備、水下探測設備和物聯網等領域有著非常廣闊的應用前景^[1]。近年來，在全球氣候問題和能源安全問題的雙重壓力下，全球主要經濟體紛紛制定了脫碳目標，發展電動汽車成為碳達峰與碳中和目標下汽車與交通產業轉型升級戰略舉措的核心，隨著MCR-WPT 技術的成熟，電動汽車或將成為無線充電設備最具潛力的市場^[2]。線圈間水平方向偏移定義為與發射線圈和接收線圈平行平面方向的偏移，在實際應用當中發射線圈與接收線圈之間不可避免地會發生水平方向偏移，導致線圈間互感產生強烈波動，嚴重影響系統運行穩定性。因此，提高線圈在水平方向的偏移容忍度對推動MCR-WPT 技術的應用與發展具有重要意義。

目前，為了減小線圈間互感的波動，保證MCRWPT系統能在水平方向偏移工況下穩定、高效運行，國內外學者主要從三個方面開展研究：(1) 線圈本體結構優化設計；(2) 線圈補償網絡結構設計；(3) 系統控制策略。在線圈結構優化設計方面，新西蘭奧克蘭大學學者首次提出了雙極性矩形平面線圈（DD 線圈）^[3]，DD線圈在水平y 軸方向上具有較高的偏移容忍度，在x 軸方向上偏移時互感變化較大。在此基礎上奧克蘭大學學者又提出了一種由單極(Q) 線圈和雙極(DD) 線圈重疊形成的DDQ 線圈^[4]，其有效地提升了DD 線圈在水平x 軸方向的偏移容限。西南交通大學學者提出了一種單極線圈和雙極線圈交替放置的新型磁耦合機構^[5]，以進一步改善線圈間沿x 軸方向運動的偏移容限，其中間段互感波動率在0.02 范圍以內，但沒有考慮邊緣部分對互感的影響。為了同時保持中間段和邊緣段的互感恒定，湖南工業大學學者提出了一種適用于無線充電系統的單發射線圈和四個級聯接收線圈的結構[6]，該結構在發射線圈半徑范圍內沿水平x 軸或y 軸方向偏移時，其互感幾乎保持10 μH 不變，互感波動率為0.084。河北工業大學學者提出一種補償線圈與發射線圈相互重疊的磁耦合機構設計^[7]，優化后的結構在x 軸、y 軸和xy（45 度對角線）方向都具有較高的偏移容忍度。在線圈補償網絡結構設計方面，使用的補償網絡有SPS（對稱并聯）型、LCL（電感電容電感）型、LCC（電感電容電容）型、T 型、LC（電感電容）型、π 型無源阻抗網絡和DC-DC（直流- 直流）型有源阻抗網絡等。在系統控制策略方面，通常運用PWM 控制方式和移相控制方式。然而通過線圈補償網絡結構設計和系統控制策略來提高系統的穩定性，容易受到調節范圍的限制，不適用于互感波動較大的系統，并且增加了系統的控制難度和復雜度，使系統的可靠性和穩定性下降。

綜上所述，線圈在任意水平方向（包括x 軸方向和y 軸方向）偏移時的互感波動問題仍未得到解決。本文旨在于從磁耦合機構本體的優化設計方面來提高MCRWPT系統在任意水平方向上的偏移容限，文中提出一種SRSC 結構在沒有附加任何額外諧振補償網絡和控制電路的情況下，能夠提高MCR-WPT 系統在發射線圈半徑范圍內任意水平方向的偏移容忍度。首先提出一種空心圓形線圈在空間任意位置偏移情況下的互感計算方法，然后對SRSC 結構組成原理與互感特性進行分析，并提出一種基于恒定互感的磁耦合機構優化設計方法，對SRSC 結構進行優化設計得到各線圈的最優參數，最后通過仿真和實驗驗證了理論計算分析的正確性。

1   空氣中圓形線圈的互感計算

本節提出了一種新的方法來計算空氣中圓形線圈間的互感。首先，從麥克斯韋方程和邊界條件導出區域1中發射線圈電流產生的電場強度計算公式，然后結合參數矢量法得出接收線圈的感應電壓計算公式，最后得到線圈間互感計算公式。

1.1 電場強度計算

具有坐標原點O 的圓柱坐標系如圖1 所示，發射線圈驅動電流，對于準靜態電磁場，在一個線性、均勻和各向同性介質中有以下麥克斯韋方程成立^[8]：

圖1 空氣介質中同軸位置的兩個圓形絲狀線圈示意圖

因為此環境中為時變電磁場，電場只在圓形平面線圈中存在，磁場則與電場互相垂直。所以在圖1 所示的柱坐標系中，可以得到以下電場強度E 與磁場強度H的初始條件^[9]：

電磁場的邊界條件如下，其中下標( i =1 ，2) 與圖1 中的區域相關：

結合傅里葉- 貝塞爾積分變換及其逆變換^[10]：

得到區域1 電場強度表達式為：

其中ω 是電流的角頻率，μ0 是自由空間的磁導率，J1 是第一類的貝塞爾函數，RP 是圖1 中的細絲半徑，z為兩圓形平面細絲之間的距離。

1.2 感應電壓計算

接收線圈中感應電壓的解析式如下：

其中γ 是C1 的E 和線元素dl 之間的角度，θ 是x軸和O1P 之間的角度。在C2 中P 的切向是電場E 的方向，即C1 中P 的tan 方向就是dl 的方向。

在本小節中，提出了參數向量法來計算C1 上任意點的cosγ。首先，圖2 描述了具有坐標原點O 的直角坐標系。一旦確定接收線圈的位置，就可以找到C1 的法向量n：

通過（7）可以計算出n 的正交向量u 和垂直于u和n 的向量v：

考慮到C₁的中心點O₁為C₁的已知條件，C₁的參數方程表示如下：

且C₂的參數方程表示如下：

其中

其次，可以得到C₁和C₂在P 點處的切線向量為：

由此可得cosγ的一般表達式為：

在圖2 中表示出了沿δ 軸水平偏移的接收線圈和1區δ 軸周圍的δ 角偏轉（ 0° ≤ δ ≤ 180° ）的常見情況，通常情況下可以找到C₁的法向量n：

由（13）可以得到一般情況下的簡化方程：

1.3 線圈間的互感計算

互阻抗定義為感應電壓V 與電流Iφ 的比值，由（6）和（15）可得：

將（5）代入（16），得到兩匝之間互感的最終表達式：

對于平面螺旋線圈，線圈的每一匝可以近似地看作是一個圓形線圈，因此線圈間的互感可以通過匝間的相互電感之和計算得出：

其中N1 和N2 分別是發射線圈和接收線圈的匝數，由此可以計算出各接收線圈與發射線圈之間的互感。

2   SRSC結構組成原理與互感特性分析

本節提出一種SRSC 結構能夠在水平方向偏移工況下保持恒定的互感，首先介紹SRSC 結構的組成和特點，然后進一步解釋SRSC 結構的互感變化規律和恒定互感特性。

2.1 SRSC結構組成原理分析

SRSC 結構如圖3 和圖4 所示，其中LP 為發射線圈，L_S1和L_S2為接收線圈，r_1-inner為接收線圈L_S1的內徑，r_1-outer為接收線圈LS1的外徑，r_2-inner為接收線圈L_S2的內徑，r_2-outer為接收線圈LS2 的外徑。與傳統的兩線圈結構相比，S_RSC結構具有以下三個特點：(1) 接收線圈LS1 的內徑大于接收線圈LS2 的外徑，兩個接收線圈以同一個圓心共處于一個平面，并采用反向串聯的連接方式，使得兩個方向相反的磁通在通過線圈時相互抵消；(2)接收線圈LS1 的尺寸要大于發射線圈LP 的尺寸，發射線圈LP 的尺寸要大于接收線圈LS2 的尺寸，使得發射線圈與兩個接收線圈之間的互感在發生水平方向偏移時的變化量幾乎一致，發射線圈與接收線圈的互感波動保持相對平緩。(3) 由于發射線圈和接收線圈都是圓形線圈，整個磁耦合機構為高度對稱結構，所以SRSC 結構具有任意水平方向的高偏移容忍度。基于以上三個特點，當SRSC 結構水平方向偏移距離在發射線圈外徑50% 范圍內時，線圈間的互感幾乎可以保持恒定。

2.2 SRSC結構電路模型和互感特性分析

圖5 SRSC結構 (a)電路模型圖 (b)互感模型圖

SRSC結構電路模型如圖5(a) 所示，其中UAB（UCD）和I1（I2）分別是SRSC 的輸入（輸出）電壓和輸入（輸出）電流，發射線圈L_P在一次側，二次側接收線圈由L_S1與L_S2反向串聯連接而成，接收線圈電流I₂從L_S1的同名端流入，然后從L_S2的同名端流出，使得接收線圈L_S1與L_S2中的電流方向剛好相反。MPS1、MPS2 和MS1S2分別是發射線圈L_P與接收線圈L_S1之間的互感，發射線圈L_P與接收線圈L_S2之間的互感以及接收線圈L_S1與接收線圈L_S2之間的互感。

如圖5(b) 所示，根據基爾霍夫電壓定律，SRSC 互感模型可以表示為：

將（LS1+LS2-2MS1S2）和（MPS1-MPS2）分別用LS 和MPS 替代，可以得到：

SRSC 結構的等效電路如圖6 所示，這和傳統的兩線圈互感模型是一致的，所以當傳統的兩線圈結構被SRSC 結構替換時，不會改變系統補償網絡結構原有的輸出特性。

當線圈發生水平方向偏移時， 互感MPS1 和互感MPS2 都會隨著偏移距離的變化而變化。如果互感MPS1 和互感MPS2 的變化速率在一定的水平方向偏移范圍內是相同的，那么互感MPS1 和互感MPS2 之間的差異，即等效互感MPS=MPS1-MPS2 可以保持恒定。

3   SRSC結構的優化設計方法

為了獲得高偏移容忍度的磁耦合機構，根據第1 節所提出的圓形線圈互感計算方法，在本節中提出一種基于恒定互感的磁耦合機構優化設計方法。由（17）與（18）可知，線圈間的互感受到圓形線圈的半徑，匝數以及相對位置等參數的影響，因此可以通過優化線圈的半徑和匝數來使得互感保持相對恒定。

在無線電能傳輸系統中，水平方向的偏移具有任意性，為了提高系統各個方位的水平方向偏移容限，磁耦合機構的線圈結構應該高度對稱。對此，在MCRWPT系統中使用圓形線圈的組合形式，可以使磁耦合機構獲得更好的抗水平方向偏移性能。SRSC 結構發射線圈和接收線圈的形狀全部都采用圓形結構，高度的對稱性讓SRSC 結構在任意水平方向都具有相同的偏移容限。另外考慮到多場景應用，故沒有加入鐵氧體磁芯的設計。結合空心圓形線圈的互感計算方法，利用Matlab和ANSYS Maxwell 軟件輔助優化設計SRSC 結構，其有限元仿真模型如圖7 所示。

當線圈其它參數固定，線圈間發生水平方向偏移時互感容易出現波動。由于SRSC 結構在任意水平方向都具有相同的偏移容限，所以選擇其中任一方向來研究優化后互感與偏移距離的關系都不會影響本文的最終結論。為了表示方便，對線圈沿水平y 軸方向偏移的互感特性進行研究，定義其互感波動率為：

圖7 SRSC結構有限元仿真模型圖

SRSC 結構優化設計流程圖如圖8 所示，具體的優化設計步驟如下。

（1）參數設置：首先，為了能量能夠高效傳輸，參考SAE J2954^[11]無線充電標準，確定系統工作頻率為f₀=85 kHz。同時為了減小高頻電流流過時的集膚效應，所有線圈都采用直徑r₀為2.5 mm，0.1mm×350股規格的利茲線來繞制，發射線圈與接收線圈間垂直方向傳輸距離h0為15cm，線圈采取緊密繞制的方式，每一匝之間的間距g₀為0。

（2）約束條件設置：互感限定值設定為=20 μH，互感波動率限定值設定為0.05。發射線圈L_P內徑初始值和上限值分別設定為160 mm 和220 mm，發射線圈L_P匝數初始值和上限值分別設定為16 匝和22 匝。接收線圈L_S1內徑初始值和上限值分別設定為240mm和280mm，接收線圈L_S1匝數初始值和上限值分別設定為13 匝和20 匝。接收線圈L_S2內徑初始值和上限值分別設定為60 mm 和140 mm，接收線圈L_S2匝數初始值和上限值分別設定為25 匝和34 匝。發射線圈與接收線圈內徑變化的步長均為20 mm，匝數變化的步長均為1 匝。

（3）互感計算：通過（17）和（18）式在Matlab中計算線圈間不同水平方向偏移距離下的互感值，將同時滿足互感值約束條件和互感波動率約束條件的線圈參數保存，然后繼續進行優化計算直到線圈參數達到上限值。

（4）輸出最優的線圈參數：最后根據優化設計的結果，在保存的線圈參數里面選取互感值最大、互感波動率最小的結果所對應的線圈參數并輸出。

優化設計后的SRSC 結構線圈尺寸參數如表1 所示。

表1 線圈尺寸參數

4   實驗驗證與分析

為了驗證本文所提出的SRSC 磁耦合機構的抗偏移性能，根據圖5(a) 所示的SRSC 結構電路模型圖和圖7 所示的SRSC 結構有限元仿真模型圖，搭建了MCRWPT系統樣機。發射線圈L_P、接收線圈L_S1和接收線圈L_S2 均使用直徑約為2.5 mm 利茲線，按照Matlab 理論計算與Ansys Maxwell 仿真尺寸繞制成空心線圈，發射線圈和接收線圈分別如圖9 和圖10 所示，MCR-WPT系統實驗電路參數如表2 所示。

圖9 發射線圈

圖10 接收線圈

表2 實驗電路參數

首先根據（17）和（18），運用Matlab 軟件，計算出了SRSC 結構在y 軸方向偏移工況下的互感理論值（Mc）。然后如圖7 所示，運用Ansys Maxwell 軟件，建立了SRSC 結構的有限元仿真模型，對模型進行仿真試驗后得到SRSC 結構在y 軸方向偏移工況下的互感仿真值（Ms）。最后如圖11 和圖12 所示，通過試驗平臺測量得到了SRSC 結構在y 軸方向偏移工況下的互感實測值（Me）。將互感仿真值與互感計算值之間的誤差定義為εs，互感測量值與互感計算值之間的誤差定義為εe，兩者的表達式如下：

圖11 互感測量試驗平臺

圖12 無線電能傳輸試驗平臺

通過連續改變SRSC 結構接收線圈在水平y 軸方向的偏移距離，得到的互感計算、仿真和測量值如表3 和表4 所示。

表3 y軸+方向偏移的互感計算、仿真和測量值

表4 y軸-方向偏移的互感計算、仿真和測量值

圖10 中對比運用Matlab 理論計算、Ansys Maxwell有限元仿真和實驗測量獲得的線圈間互感隨偏移距離的變化關系，從圖中可以看出，隨偏移距離變化的互感實驗測量結果與仿真結果和理論計算結果基本一致，通過仿真與實驗驗證了互感計算式（17）和（18）的正確性和SRSC 結構優化設計方法的可行性。線圈正對時互感值為23.72 μH，沿y 軸+ 方向偏移時，前180 mm互感的變化相對平緩，在150mm 處互感達到最大值24.37 μH，之后變化明顯加快，偏移距離達到270 mm時，互感降至20.86 μH。沿y 軸- 方向偏移時，在距離超過180 mm 時，也會出現互感變化加快的現象，同樣在距離150 mm 處互感達到峰值，在距離270 mm 處，互感降至20.74 μH，這也說明了SRSC 結構的高度對稱性。在分別向y 軸+ 和y 軸- 方向偏移相同距離時，兩個對稱位置的互感會有少許差異，這是因為平面圓形螺旋線圈的結構只能近似于圓形，并不能完全等價于圓形結構。但從整體上來說，沿y 軸方向偏移距離240 mm 范圍內互感基本恒定。

5   結論

本文設計了一種在任意水平方向具有高偏移容忍度的SRSC 磁耦合機構，并提出了一種空心圓形線圈在空間任意位置偏移情況下的互感計算方法，結合此方法給出了一種基于恒定互感的磁耦合機構優化設計方法。本文所提出的SRSC 結構經過優化設計后，不需要增加額外的補償網絡和輔助控制裝置，可以使MCR-WPT 系統在任意水平方向偏移240 mm 范圍內（相當于發射線圈外徑的51.6%）穩定、高效運行，降低了系統的復雜度和控制難度。此結構不僅適用于移動電子產品和智能家居的靜態無線電能傳輸系統，同樣也適用于電動汽車和工業機器人的動態無線電能傳輸系統。本文只研究了水平方向偏移對于線圈間互感的影響，基于所提出的互感計算方法和磁耦合機構優化設計方法，后續將展開對MCR-WPT 系統提高全方向偏移容限方面的研究。

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（本文來源于《電子產品世界》雜志2022年4月期）