2 定點小數表達方式

　　為了精確構造數字濾波器，經常要用到浮點數據和系統。在進行浮點數乘法運算時，針對AVR單片機設計的C編譯器例如AVR-GCC，需要加入額外的數學庫函數進行編譯。而這會使編譯后程序的代碼量增加、處理時間加長、處理器的開銷也隨之增加。為了更大限度地降低系統開銷，提高程序效率，采用定點小數表示形式進行乘法運算是最佳選擇。

　　AVR單片機是一種8位精簡指令集（RISC）單片機。其中megaAVR系列內部都帶有一個硬件乘法器，計算一次8位乘8位的定點乘法只需2個時鐘周期。因此采用8位定點采樣數據乘以8位系數的定點乘法方式完成濾波器算法是最高效的。

　　低通濾波處理涉及的運算形式為一個純小數系數和一個已知數據相乘再相加。因此將系數采用定點小數的表示形式，對于提高算法速度是至關重要的。

　　可以定義一種8位定點小數表示形成――Q8，其各位權系數如下：

　　Q8數的表示范圍從0到1-2 -8=0.99609375，每兩個數之間的間隔是2 -8（0.00390625），其所能表示的純小數共有2 8=256個。例如11011000就表示2 -1+2 -2+2 -4+2 -5=0.84375，而11011001就是表示2 -1+2 -2+2 -4+2 -5+2 -8=0.84765625，因此0.84375和0.84765625之間的純小數只能用這兩個數中的一個近似表示了。這對于乘法計算的精度有一定的影響，但是由于濾波公式（3）中的系數a和(1-a)都是常數，在整體性能穩定的情況下，系數微小的不確定性對濾波器整體性能并沒有太大的影響。

　　3 分配系數法原理

　　從（3）式可知，濾波算法可以用迭代計算實現，為保證每個新的輸出值都可以作為下次計算的輸入值，必須使輸出值和輸入值的位寬度一致。必須使輸出值和輸入值的位寬度一致。AVR單片機內部硬件乘法器的輸出結果為16位，兩次乘法運算的結果還要進行加法運算，其結果很有可能超過16位寬度。如果要進行迭代計算，就要將乘加運算的結果轉化成8位表示方式。一種解決方法是用查表法實現乘法計算，這樣運算結果就直接表達成8位定點數形式，不用進行表示方式的轉化，但是這種方案要占用額外的硬件在座空間構造一張查找表。

　　可以從逆向進行思考：由（3）式可知，每個新的輸出值y(k)都與上一次的輸出值y(k-1) 和新的輸入值x(k)有關。y(k-1)和x(k)都是8位的，因此最大值為0xFF。為了使a×y(k-1)+(1-a) ×x(k)不超過0xFFFF，兩個系統a和（1-a）的和不能超過0xFFFF/0xFF=0x101。實際上，a+(1-a)等于1，因此這里的0x101就可以看作“1”。如果取a=0.9，那么對應地將0x101平均分成10份，取其中的9份，即0x101×0.9近似等于0xE7，相應地0.1就等于0x101-0xE7=0x1A。這里的0xE7可以近似被認為是0.9的一種定點Q8數表示形式，而0.1的定點Q8數表示形式就是0x1A。由于濾波器系數a和（1-a）采用了Q8數的表示形式這種將16位乘加運算結果轉化為8定點數表示形式的工作就變得各簡單了，只需通過移位運算，取y(k)的高8位即可，對應的C語言代碼為：

　　y(k)=（char）(y(k)>>8)

　　在C語言編程處理中，并不需要建立一個數組來存儲y(k)的值，而只需定義兩個unsigned char型的變量分別存儲y(k-1)和x(k)。當乘加計算a×y(k-1)+(1-a)×x（k）完成后，將結果轉化為8位定點數形式，再將其賦值給y(k-1)所對應的變量即可。因此采用迭代方式進行乘加運算后，整個運算過程只需要兩個變量和兩個常數參加即可。

　　通過這種處理，y(k)就可以作為計算下一次輸出值y(k+1)的一個已知量，并繼續與Q8數形式的濾波器系數相乘，得到新的輸出值。這種處理方式簡化了乘加運算的完成過程，節省了系統硬件資源，并降低了處理器開銷。

　　4 采樣時間的控制

　　采用單片機進行數字信號處理，一種有效而準確的數據采集方式就是通過計數器中斷服務程序（ISR）控制AD對輸入信號進行精確采樣。但是（圖2）中斷服務程序（ISR）的開銷影響了AD采樣時間間隔的精確度，同時如果中斷服務程序（ISR）的開銷過大，必然導致AD的最高采樣頻率的降低。因此，要想獲得精確的采樣頻率，就必須在盡量減少中斷服務程序開銷的前提下，適當調整計數器中斷的時間間隔。這可以通過調整OCR0的預置數來完成。

　　5 算法流程圖

　　濾波算法是通過中斷服務程序（ISR）來完成的，整個應用程序的主函數main（）主要負責初始化計數器中斷，并處理其它應用。整個程序的流程圖如圖3所示。

　　本算法的C語言代碼（附錄A）經過AVR-GCC編譯器的編譯后，“.text”段只有310個字節，大大節省了單片機的flash空間。